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日期： 2022-09-20 15:16:26 浏览数：4
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涉县，隶属河北省邯郸市，位于太行山东麓，河北省西南部，晋冀豫三省交界处，背靠京津冀，雄居中原，是联动京津冀和中原地区的重要枢纽。 [1] 地势自西北向东南缓慢倾斜，属暖温带半湿润大陆性季风气候；面积1509平方千米，辖1个街道、9个镇、8个乡；2018年总人口430261人。
涉县是革命老区、红色圣地。涉县公元前206年（汉刘邦元年）立县 [2] ，因涉水而名。涉县交通条件便利，邯长铁路、阳索铁路穿境而过。截至2018年底境内文物保护单位达111处，其中国家级6处、省级15处、市级28处、县级62处；有1家5A级景区，2家4A级景区。 [2-3]
2019年，全县生产总值完成164.9亿元，公共财政预算收入完成13.5亿元。
假设我们具有如下命题变量，具有表中所示的直觉含义。
r | “天在下雨。” |
|---|---|
u | “乔伊带着伞。” |
w | “乔伊被淋湿了。” |
给定以下前提
r→u | “天在下雨，乔伊就会带着伞。” |
|---|---|
u→w | “乔伊带着伞，所以他没被淋湿。” |
r→w | “如果没下雨，乔伊是不会被淋湿的。” |
现在要求证明，也就是，乔伊绝不会被淋湿。从某种意义上讲，这个问题不值一提，因为大家可以验证
((r→u)AND()
AND())→
是个重言式。不过，还是可以利用12.8节介绍的一些代数法则，以及刚刚讨论过的一些推理规则，从前提证明。如果要处理形式比命题逻辑更为复杂的逻辑，或者是要处理涉及很多变量的逻辑表达式，就需要采取这种证明方式。图12-24展示了一种可能的证明方式，以及每个步骤进行下去的依据。
这种证明的大概思路是，利用情况分析，考虑天在下雨及没下雨这两种情况。根据第(5)行我们就证明了，如果天在下雨，那么乔伊不会被淋湿，而根据第(6)行，由给定的前提，说明如果没下雨，乔伊就不会被淋湿。第(7)到第(9)行结合了这两种情况，以得到我们想要的结论。
图 12-24 演绎证明的示例
回想一下，演绎证明首先有前提E1、E2、…、Ek并要添加额外的行（也就是表达式），这些行都蕴涵自E1 AND E2 AND…AND Ek 。我们所添加的每一行都蕴涵自之前的0条或更多行，或者是某一行前提。我们可以通过对目前为止已经添加的行的数目进行归纳，来证明 E1 AND E2 AND… AND Ek 蕴涵了证明过程中的每一行。要完成这一任务，需要两个涉及语言的重言式族。第一个重言式族是从→的传递性一般化而来的。对任何n，有：
((p→q1)AND(p→q2)AND…AND(p→qn)AND((q1q2…qn)→r))→(p-r ) (12.12)
也就是说，如果p 蕴涵了各个qi，而且qi 一起蕴涵r，那么有p 蕴涵r。
我们可以通过以下推理得出(12.12)是重言式。(12.12)为假的唯一可能就是p →r 为假，而且左边那一串为真。不过p →r 只能在p 为真且r 为假时为假，所以我们要假设p 和为真。然后必须证明(12.12)的左边为假。
如果(12.12)的左边为真，那么其中由AND连接的各个子表达式都为真。例如，p→q1为真。因为我们假设p 为真，那么要让p→q1为真，就只可能是q1为真。同样，可以得出结论：q2、…、qn都为真。因此q1q2…qn→r 一定为假，因为我们假设r 为假，而且刚刚发现所有的qi 都为真。
首先假设(12.12)为假，因此得到右边一定为真，所以p 和都为真。然后可以得出，当p 为真且r 为假时，(12.12)的左边为假。但如果(12.12)的左边为假，则(12.12)本身为真，这样就得出了矛盾。因此(12.12)绝不可能为假，所以它是重言式。
要注意到，如果(12.12)中有n=1，就有了→的传递性的情况，也就是法则12.23。还有，如果n=0，那么(12.12)就成了(1→r)→r，这是个重言式。回想一下，当n=0时，按约定q1q2…qn 被取为AND的单位元，也就是1。
我们还需要一类重言式来证实可以为证明添加前提。它是对示例12.25中讨论过的重言式的一般化。我们声明，对任何满足1≤i≤m 的m 和i 来说，
(p1p2…pm)→pi (12.13)
是重言式。也就是说，一个或多个命题的AND蕴涵它们之中的任何一个。
表达式(12.13)之所以是重言式，是因为唯一让它为假的可能就是左边为真且右边(pi) 为假。但如果pi 为假，那么pi 和其他p 的AND必然为假，所以(12.13)的左边为假。但只要(12.13)的左边为假，它就为真。
现在可以证明，如果给定下列两个条件
1. 前提E1、E2、…、Ek；
2. 一组推理规则，满足只要这些推理规则允许我们写一行F，那么该行要么是Ei 中的某一个，要么对某组之前的行F1、F2、…、Fn，存在重言式
(F1 AND F2 AND…AND Fn)→ F
则对各行F，(E1 AND E2 AND…AND Ek) →F 一定是重言式。要对添加到证明中的行的数量进行归纳。
依据。我们以0行的情况作为依据。这一命题成立，因为它表示的是与证明中每行F 有关的信息，而且并没有这样的行需要讨论。也就是说，我们的归纳命题其实形如“如果F 为证明的一行，那么……”，而且我们知道如果条件为假，那么这样的“如果-那么”命题就为真。
归纳。对归纳部分而言，假设对之前的各行G，有
(E1 AND E2 AND…AND Ek)→G
是重言式。设F 是添加的下一行。就有两种情况。
演绎证明与等价证明
我们在12.8节和12.9节中看到的证明方式与12.10节研究的演绎证明有着不同的风格。不过，这两种证明都需要构建一系列的重言式，以得出所需的重言式。
在12.8节和12.9节中我们看到了等价证明，由一个重言式开始，通过各种替换得出另外的重言式。得到的所有重言式对某些表达式E 和F 而言具有E ≡F 的形式。这种证明风格会被用于三角学中，例如，在证明“三角恒等式”时会用到。
演绎证明也需要寻找重言式。唯一的区别在于，其中各个重言式都形如E →F，其中E 是前提的
AND，而F是证明中我们实际要得出的行。事实上，我们不写出整个重言式只是一种表示上的便利，而非本质上的区别。我们也应该很熟悉这种证明方式，它常用于平面几何中的证明。
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