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日期： 2022-09-20 15:10:49 浏览数：2
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衡水，河北省地级市，位于河北省东南部，介于东经115°10′-116°34′，北纬37°03′-38°23′之间，东部与沧州市和山东省德州市毗邻，西部与石家庄市接壤，南部与邢台市相连，北部同保定市和沧州市交界，总面积8815平方公里。 [1-2] 衡水市地处河北冲积平原，地势自西南向东北缓慢倾斜，海拔高度12米～30米。属大陆季风气候区，为温暖半干旱型，是京津重要的农副产品加工供应基地。衡水属于环渤海经济圈和首都经济圈的“1+9+3”计划京南区，为环渤海区域合作市长联席会议成员市，被费孝通称为“黄金十字交叉处”。 [2-5]
衡水所辖冀州为九州之首。河北省称冀，也缘于此，涌现出了董仲舒、孔颖达、高适、孙犁等知名人物。截至2016年，衡水有国家级非物质文化遗产保护项目6项，省级非遗保护项目33项，市级非遗保护项目55项，境内有衡水湖、武强年画博物馆、冀州城等旅游景点。 [2] [6-8]
截至2019年末，衡水市辖2个市辖区，1个县级市，8个县，户籍人口457.8万人，常住人口448.6万人；实现生产总值1504.9亿元，人均生产总值33599元。 2019年10月23日，被确定为“第三批城市黑臭水体治理示范城市”。
可以对以上示例加以扩展。在一般情形下，有一列n个“项”，比如示例4.1中的房屋；还有一组k个“值”，如示例4.1中的颜色，可以给某个项指定这些值中的任一种。一种分配就是一个含有n个值的表(v1,v2,…,vn)。v1,v2,…,vn中的每一个都是从这k个值中任选其一。这种分配指定了vi 从v1到第i 项的值，其中i=1,2,…,n。
当有n个项，而且可以为每一项指定k个值之一时，就会有kn 种不同的分配。例如，在示例4.1中，一共有n=4项，也就是有4所房屋，而且有k=3个值，也就是有3种颜色。我们就可以计算出总共有81种不同的分配。请注意，就是34=81种。可以通过对n 的归纳证明这一一般规则。
命题 S(n)。为n个项中每一项分配k个值中的任一个，共有kn 种方式。
依据。依据为n=1的情况。如果只有一项，可以为它任选k个值中的一个。因为k1=k，所以依据得证。
归纳。假设命题S(n)为真，并考虑S(n+1)，也就是为n+1项分别分配k个值之一，共有kn+1种方式。可以将这种分配分解为给第一项选择值，以及针对第一个值的每种选择，为剩下的n项分配值。对每种这样的选择而言，根据归纳假设，剩下的n项有kn 种分配值的方式。所以总分配方式共有k×kn 种，也就是有kn+1种。因此我们证明了S(n+1)，完成了归纳步骤。
图4-2表示了当n+1=4且k=3时，即在示例4.1这个讨论4所房屋和3种颜色的具体例子中，对第一个值的选择以及相应的剩余项分配方式的选择。也就是说，在归纳假设中假定选择3种颜色之一粉刷3所房屋共有27种分配方式。
图 4-2 用3种颜色粉刷4所房屋的分配方式数
在计算机系统中，我们常遇到由0和1组成的串，而这些串往往用作对象的名称。例如，我们可能购买具有“64MB主内存”的计算机。每一个字节都有自己的名称，而这个名称是长度为26位的位序列，每一位要么是0，要么是1。这种由0和1组成的表示名称的串就叫作位串。
为什么对64MB的内存来说是26位呢？答案就源自分配计数问题。当我们计算长度为n的位串的数量时，可以将串中的位置视作“项”，而这些位置可能存放0或1这两个值中的一个。因为有两个值，所以有k=2，而为n个项分配二值之一的分配方式共有2n种。
如果n=26，即考虑长度为26的位串，就可能有226种位串。226的精确值为67 108 864。而按照计算机的语法，这个数字会被视为“6 400万”，虽然真实的数字显然要比这个值大上约5%。接下来的附注栏简要介绍了该主题，并试着解释了为2的乘方命名时涉及的一般规则。
K、M和2的乘方
将2的乘方转换成10的乘方有个实用的技巧。我们可以注意到，210，也就是1024，与1000是非常接近的。因此，230，也就是(210)3，或者说大概是10003，即10亿。那么，232=4×230，也就是约40亿。其实，计算机科学家通常都会认可210正好是1000的假设，并将210说成是1K，其中K表示kilo（千）。例如，我们可将215转换成32K，因为
215=25×210=32ד1000”
而我们将实际值为1 048 576的 220 称为1M，或者是1兆，而不是称为1000K或1024K。对 220到 229 这几个2的乘方数，我们会提取出 220 这个因子。因此， 226 就是 26×220 ，或者说是64兆。这正是 226 字节被称为64兆字节或64 MB的原因。
下表给出了多项10的乘方，以及与其近似相等的2的乘方。
前缀
字母
值
Kilo
K
103 或 210
Mega
M
106 或 220
Giga
G
109 或 230
Tera
T
1012 或 240
Peta
P
1015 或 250
本表格表明对超过 229 的2的乘方，我们分别会提取出 230 、 240 或是可以达到的2的任意整 十次方作为因子。不管用什么单位度量，剩下的2的乘方会在命名时加上giga-、tera-或peta-这 些前缀。例如， 243 字节就是8TB。
1. 在下列情形中，分别有多少种粉刷方式?
(a) 3所房屋，每一所可从4种颜色中任选一种。
(b) 5所房屋，每一所可从5种颜色中任选一种。
(c) 2所房屋，每一所可从10种颜色中任选一种。
2. 假设计算机密码由8到10位字母和（或）数字组成。可能有多少种不同的密码？请记住，大写字母和小写字母是不同的。
3. * 考虑如图4-3所示的f函数。f可以返回多少种不同的值？
int f(int x){
int n;
n = 1;
if (x%2 == 0) n *= 2;
if (x%3 == 0) n *= 3;
if (x%5 == 0) n *= 5;
if (x%7 == 0) n *= 7;
if (x%11 == 0) n *= 11;
if (x%13 == 0) n *= 13;
if (x%17 == 0) n *= 17;
if (x%19 == 0) n *= 19;
return n;}复制代码图 4-3 f函数
4. 在“好莱坞广场”游戏中，X和O可能以任意组合被放置在井字棋棋盘（一个3×3的矩阵）9个格子的任意一个中（即与普通井字棋玩法不同的是，这里的X和O不必要交替摆放，所以，打个比方，所有的格子都可以放上X）。方阵也可能为空，也就是说，既不含X，也没有O。那么有多少种不同的摆放方法呢？
5. 用10个数字可以组成多少种长度为n的串？其中某个数字可能出现任意次，也可能根本不出现。
6. 用26个小写字母可以组成多少种长度为n的串？其中某个字母可以出现任意次，也可能根本不出现。
7. 根据上文附注栏中所述的规则，将以下内容转换成K、M、G、T或P：(a) 213 (b) 217 (c) 224 (d) 238 (e) 245 (f) 259。
8. * 将以下10的乘方转换成近似的2的乘方：(a) 1012 (b) 1018 (c) 1099 。
本节中我们将解决另一个基础的计数问题：将给定的n个不同对象排成一列，可以有多少种不同的排列方式？这种排序称为这些对象的排列。我们将用Π(n)表示n个对象的排列数。
关于为排列计数在计算机科学中的重要性，我们来举例说明。假设要为给定的n个对象a1、a2、…、an排序。如果对这些对象一无所知，那么任何次序都可能是正确的排序次序，因此排序可能的结果数就是Π(n)，也就是n个对象的排列数。我们很快就会看到，这一结果有助于证实：通用的排序算法所需的时间与n logn成正比，并因此可证实3.10节中运行时间为O(n logn)的归并排序算法会快上某个常数因子倍。
排列计数规则还有很多其他应用。例如，我们将在后面的小节中看到的，它在组合与概率这样更为复杂的计数问题中也分量十足。
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